膜结构是一种轻巧高效、造型美观的空间结构形式,近几十年来发展非常迅速[1],在体育场馆、会展中心、机场火车站等大型公共设施中得到了广泛的应用.膜结构的设计主要包含三个步骤:找形分析、荷载分析和裁剪分析[2,3,4].其中裁剪分析是膜结构设计中至关重要的一个步骤,它决定了膜结构拼接成型后实际的平衡形状和应力分布[5].在进行曲面划分后,传统的裁剪分析通常分为曲面展平和应变补偿两个步骤[6].由于绝大多数膜结构的表面是不可展开的,因此在曲面展平的过程中,将会不可避免地产生误差,在膜面上曲率越大的区域误差也会越大[7].

为了减小裁剪误差,获得更加精确的裁剪形状,国内外学者对裁剪分析进行了大量的研究,提出了许多不同的裁剪分析方法[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17].通过先展平后补偿的方法来进行裁剪分析虽然具有一定的精度,但是生成裁剪形状的过程中并不考虑结构最终实际平衡的形态,因此不能确保得到的裁剪形状是最优的.一些学者为了能达到最优化裁剪的目的,提出了不同于传统裁剪分析方法的新思路.Kim等人[8]提出了一种考虑结构实际平衡时应力的方法,利用成型后应力与设计应力之差来对膜片裁剪形状进行调整,通过反复迭代使最终平衡时的应力差最小.然而他所提出的裁剪分析最优化条件只考虑了膜结构实际平衡时的应力误差最小化,而没有考虑平衡时的形状误差最小化.在实际工程中,结构的形状误差也是影响工程质量的一个重要因素,因此该方法具有一定的局限性.另外,该方法在每次迭代修正的过程中都需要分析整体结构的平衡形态,这会大大增加计算成本,不适合在复杂的大型工程中应用.Linhard等人[7]提出了一种将裁剪分析引入到找形分析的方法,根据裁剪形状来确定结构的应力分布并调整结构的设计形状,反复迭代以保证裁剪分析得到的膜片在成型后与设计应力之差最小.但是由于这种方法需要在找形分析前确定裁剪线布置,不能在确定设计形状后再通过测地线等方法获得最优裁剪线,无法避免裁剪线布置不合理的问题,从而造成一定的材料浪费.另外,由于难以模拟膜结构由裁剪膜片拼接、张拉直至成型的过程,缺少求解膜结构实际平衡形态的方法,现有的裁剪分析无法从平衡形态时形状误差和应力误差的角度确保获得的裁剪形状是最优的.

针对现有膜结构裁剪分析存在的问题,本文提出一种考虑由裁剪膜片拼接、张拉后膜结构实际平衡形态的裁剪分析优化方法.首先在膜结构成型过程中引入一个虚拟的“中间形态”,在中间形态时结构的形状与设计形状相同.通过将结构先张拉至中间形态再让其重新平衡至实际平衡形态,将膜结构的成型过程划分为两个容易计算的阶段,从而实现了由裁剪膜片拼接、张拉后膜结构实际平衡形态的求解.依据中间形态的特点,将最小化中间形态与设计形态之间的应力差作为裁剪分析的最优化目标,并将该应力差作为修正参数引入裁剪膜片,通过力学方法对裁剪分析进行修正,实现了裁剪分析最优化.本文选取一个中国帽模型作为算例,基于SMCAD膜结构设计系统[18],进行膜结构的找形分析和初始裁剪分析.在初始裁剪分析的基础上进行优化,获得最优裁剪膜片,分析由最优裁剪膜片组成的实际结构在设计形状时的应力分布和实际平衡时的形状及应力分布,并与采用其他裁剪分析方法的结果进行了对比.

膜结构的实际成型过程是将多块平面裁剪膜片拼接固定后,在使用条件下张拉到平衡形态的过程.在这个从二维到三维的成型过程中结构发生了巨大的位移和应变,且初始形态无法确定,因此要求解膜结构的实际平衡形态非常困难,在现有的裁剪分析方法中难以以实际平衡形态作为依据来对裁剪膜片进行优化.

为了实现膜结构实际平衡形态的计算,本文在膜结构成型的过程中构造了一个虚拟的“中间形态”,利用这个中间形态将结构成型模拟的过程分为两个阶段.在第一个阶段中先通过控制形状的方法将结构从初始形态强制张拉到中间形态,在第二个阶段中让结构在设计条件下重新平衡达到实际平衡形态.由于结构最终的平衡形态只取决于裁剪膜片和边界条件,而与结构的张拉过程没有关系,因此通过这种方法求解得到的结构平衡形态是准确的.在加入了中间形态后结构的两阶段成型过程如图1所示.

图1中Ω2D是各膜片的裁剪形状,ΩD是膜结构中间形态时的形状,σ2D→3D是膜结构由裁剪形态张拉到中间形态时的张拉应力分布,ΩR是结构的实际平衡形状,σR是结构在平衡形态时的应力分布.中间形态时的形状可以任意选取而不会影响最终的平衡形态,本文所选取的中间形态,其形状与找形分析求解所得的设计形状完全相同.

第一阶段的变形过程中,膜结构中间形态时的形状和膜片裁剪形状均为已知,且裁剪形态时膜片处于无应力状态.根据两个形态时单元之间的映射关系可知从裁剪形态到中间形态时每个单元发生的变形,由此可计算出中间形态时膜中的张拉应力分布σ2D→3D.

而在第二阶段的变形过程中,根据结构在中间形态时的应力分布和结构的边界条件,通过非线性Newton-Raphson方法可以计算出结构实际的平衡形态.在实际的有限元计算中,第二阶段的平衡形态分析利用膜结构设计软件的荷载分析模块来实现.在找形分析的基础上,用中间形态应力分布替代设计预应力分布,对结构进行荷载分析可求解由裁剪片组成的实际结构的平衡形态.由于结构中间形态与平衡形态的形状非常接近,在求解平衡形态的过程中结构发生的位移和变形都比较小,相对于直接根据膜片的平面裁剪形状来进行结构的平衡形态分析,本方法可以提高计算效率与精度.

通常裁剪分析优化以平衡形态时应力分布的误差作为目标函数[8],即:

P=∑|σD−σR|2→${\rm P}={\displaystyle \sum \left|\mathit{\sigma }{}_D-\mathit{\sigma }{}_R\right|}{}^2\to$最小化 (1)

式中,σD是膜结构的设计应力,σR是结构实际平衡时的应力分布.

但是膜结构在平衡形态时的误差不仅有应力误差还有形状误差,满足式(1)并不能确保这两个误差同时达到最小化,由此得到的裁剪形状并不一定是最优的.

为了确保在裁剪分析同时考虑到结构的应力误差和形状误差,应当满足如下条件

P=∑|σD−σR|2|σD|2+α∑|XD−XR|2L2→${\rm P}={\displaystyle \sum \frac{\left|\mathit{\sigma }{}_D-\mathit{\sigma }{}_R\right|{}^2}{\left|\mathit{\sigma }{}_D\right|{}^2}}+\alpha {\displaystyle \sum \frac{\left|\mathit{X}{}_D-\mathit{X}{}_R\right|{}^2}{L{}^2}}\to$最小化 (2)

式中,XD是结构的设计节点坐标,XR是结构实际平衡时的节点坐标,L是结构的尺度,α是形状误差的调整系数.

通常应力误差的数量级大于形状误差,为了确保在分析中考虑到形状误差的因素,在式(2)中加入了一个调整系数α.但由于实际成型的平衡形态计算比较困难,且α和L的取值较难确定,因此式(2)并不是一个便于应用的裁剪最优化判断条件.利用膜结构成型过程中间形态的概念,本文提出了一个实用的裁剪分析最优化判断条件:

P=∑|σD−σ2D→3D|2→${\rm P}={\displaystyle \sum \left|\mathit{\sigma }{}_D-\mathit{\sigma }{}_{2D\to 3D}\right|}{}^2\to$最小化 (3)

式中,σ2D→3D是膜结构在中间形态时的张拉应力分布.

相比式(1),式(3)以中间形态时的应力误差作为目标函数,结构处于中间形态时没有形状误差,应力误差包含了结构所有的误差信息,以此时的应力误差作为调整目标可以避免式(1)中由于忽略了形状误差而可能产生的问题.

膜结构在第二阶段的变形中,从设计形状开始发生变形直至平衡,在这个阶段中结构发生的变形即为结构平衡形态时的形状误差.由于该变形是在应力误差导致的内力作用下产生的,中间形态时应力误差越小,结构在第二阶段发生的变形就越小,即结构在平衡形态时的形状误差越小.依据能量最低原理,结构处于平衡形态时的应变能将会小于中间形态时的应变能,结构平衡形态时的应力差相比中间形态时的应力差会进一步缩小,中间形态时应力误差越小,平衡形态时的应力误差也越小.因此,当满足式(3)后,结构实际成型时的应力误差和形状误差都接近最小值,裁剪分析得到了最优化.

膜结构在中间形态时,由于膜上的张拉应力与设计应力之间存在应力差Δσ,在这个不平衡应力作用下结构无法自行保持平衡.假设将这个应力差Δσ提前施加在初始裁剪膜片上让其发生变形,将变形后的膜片形状作为调整后的裁剪膜片,则可以一定程度上消除在中间形态时的应力差,使得中间形态时的张拉应力更加接近设计应力.利用这个方法不断迭代调整膜片的形状,可以使膜片不断得到优化,最终满足最优化判断条件.根据以上逻辑,裁剪膜片的调整步骤如图2所示,主要分为五个步骤:

(1) 强制将初始裁剪膜片张拉到中间形态,根据膜片从平面形状Ω2D到设计形状ΩD的变形,计算膜片在中间形态时的张拉应力分布σ2D→3D,计算相对设计应力σD的应力差Δσ;

(2) 将应力差Δσ引入到初始裁剪膜片上,构造一个形状为Ω2D,应力分布为Δσ的新膜片;

(3) 计算新膜片的平衡形态,忽略膜片中的残余应力,保留膜片的平衡形状Ω2D作为优化裁剪形状;

(4) 将第3步获得的优化裁剪形状作为新的初始裁剪形状,重复上述1～3步,不断调整膜片的裁剪形状;

(5) 当中间形态时的应力差Δσ无法继续缩小或缩小量小于某限值时满足式(3),裁剪分析达到最优化,输出最优化裁剪形状.

选取一个中国帽模型作为算例,该模型尺寸、材料参数和边界条件均与Linhard[7]以及Gale[9]的研究中采用的模型相同.结构的边界由上下两根环索构成,上环的直径为1.2m,下环的直径为5.6m,上下环的高度差为1m.结构在各个方向上的设计预应力均为2kN/m.结构使用膜材为各向同性的ETFE膜,厚度为1mm,膜材在径向和纬向上的弹性模量均为220kN/m,剪切模量为78.6kN/m,泊松比为0.4.膜结构经过找形分析得到的设计形状如图3所示.

膜结构等分为12块,在图3中,浅色部分为结构中一块裁剪区域的形状,通过曲面展平获得初始的裁剪形状,根据本文所提出的最优化方法对初始裁剪形状进行优化分析.在优化过程中,式(2)中代表应力误差的P值随迭代次数增加的变化趋势如图4所示.

从图4可以看到,随着迭代的进行,应力误差迅速减小,并最终收敛至一个非零的数值,表明采用本方法进行裁剪修正具有较高的效率,收敛时应力误差无法消除符合实际情况.最终得到的最优裁剪形状如图5所示.

根据得到的最优裁剪膜片,分别计算其在中间形态和平衡形态时的应力分布,如图6、7所示.在两种形态时结构中应力的最大值均出现在结构顶部边缘区域,而在结构顶部中间区域的应力则相比设计应力偏小.在结构曲率较大的顶部区域,应力误差整体相对较大,而在较为平坦的底部区域,应力分布与设计应力非常接近.在应力重分布之后的平衡状态,应力的最大最小值均更加接近设计值.

表1将采用本文方法计算的应力分布结果与采用了相同模型进行计算的研究结果进行对比,可以发现,在两个主应力方向上应力大小的规律基本相似,本方法结果相对于另两种方法整体的应力误差更小.

结构在平衡形态时的形状分布如图8所示.图中位移表示相对于设计形状的变形,可以看到,在曲率较大的结构顶部,形状误差较大,而在曲率较小的结构底部则形状误差较小.在结构顶部焊缝处,结构相对设计结构产生向下的变形,而顶部中间区域则产生向上的变形.最大的变形量在1mm以内,约为结构尺度的1/500,表明优化后的裁剪片在实际成型后的形状与设计形状基本保持一致.

(1)本文提出的裁剪分析优化方法可以在曲面展平的基础上对裁剪形状进行调整,经过一定次数的迭代后,结构在中间形态时的应力误差能够大幅缩小并收敛,确保优化后的裁剪膜片在组成结构实际成型之后与设计结构之间的误差是最小的,从而获得最优化裁剪膜片.

(2)选取一个中国帽模型作为算例,分析了最优化膜片组成的结构实际平衡时的形态.对比两位国外学者所提出的方法,在采用完全相同结构设计条件的情况下,本文的最优化裁剪膜片在实际平衡形态下的应力误差更小,且形状误差也很小,表明本文的裁剪分析优化方法具有较高的精度.

(3)本文方法可以在结构的设计阶段对结构实际建成后的形状和应力分布状态进行预估,从而判断膜结构中可能发生褶皱或撕裂的位置,为实际工程提供参考.