现代卫星技术的不断发展对天线的高频段、高增益及大口径提出了越来越高的要求[1,2,3]。比如为了提高天线的增益和数据传输速率，中继卫星的频段选在Ku段，天线增益要求不小于50 d B，因此天线的口径需要增大至5 m，波速宽度约为27◦，数据传输速度达300 Mbit/s[4]。在嫦娥四号登月项目中，“鹊桥”中继卫星上架设了一副展开口径达5 m的伞状天线，这也是目前人类深空探测器携带的历史上最大口径的通信天线。

由于现有火箭整流罩尺寸与发射费用的限制，星载天线不仅要轻，收拢体积还要小，因此，大口径星载天线必须做成可展开的形式，即发射时收拢于火箭整流罩内，入轨后自动展开到位。网状反射面天线是目前大型卫星天线最理想的形式，它采用周边桁架展开结构和柔性网面技术，结构形式简单，可以在一定范围内增大天线的口径而不改变结构形式，质量也不会随之成比例地增加，天线的口径可以达到6～150 m[5,6]。网状反射面天线由可展开桁架、金属反射丝网和索网结构组成，如图1所示，其中索网结构挂接在外部桁架上。满足天线工作状态的情形应当是，在内部索段都张紧后，达到平衡状态且使前索网保持特定的抛物面型面。丝网反射面附于前索网背部，实现电波的反射。

天线反射面的型面精度非常依赖于索网结构的几何构型。索网结构与刚性结构有很大的不同，这是因为组成索网的索段本身不具有刚度和形状，当索段本身被施加预张力后，索网才能获得作为承载体系所需的刚度和形状。目前，纯索网结构的形态分析方法已经趋于成熟，常见的方法有力密度法、动力松弛法、平衡矩阵法等[7,8,9,10]。基于这些方法，可以对索网的“形”和“态”进行优化，借以提高天线的设计精度。实际上，金属丝反射面可被看作一类薄膜结构，该膜结构的预应力状态会影响结构的受力性能，膜内应力最终会传递到索网索段上，因此在型面分析过程中忽略膜的刚度贡献是不尽合理的。

天线上的丝网反射面柔性大，抗弯刚度小，常被等效为膜结构进行处理。反射面结构需要依靠膜内力和边界约束来抵抗载荷作用，因此，寻找满足平衡条件的膜面形状和相应的预应力分布是天线找形分析中的重要问题。等应力状态是膜结构各种应力分布形式中的一种重要分布形式。这是因为等应力分布使得结构各处受力均匀，且该状态下的平衡形状具有最小表面积的特性。基于等应力状态，已有不少学者对薄膜结构或索膜结构进行了形态分析方面的工作[11,12,13,14]。

本文针对索网结构和反射面，建立了索膜结构的型面优化方法。对薄膜内部初始应力设置对索网中索力的影响进行了讨论，将优化后的结果在有限元软件ANSYS中建模分析，验证了结果的正确性。

本文首先假设索膜结构的初始形状，然后直接引入索网中的索段张力作为初始变量，据此建立索膜结构的节点平衡方程，通过优化求解，得到索膜结构的一组优化解。

基于力密度的思想，可以快速建立节点的平衡方程[8]。假设索网结构挂接于刚性桁架之上，则索网结构处于平衡状态时，索网上某一节点i的力平衡方程可以表示为：

式中：N(c)i为与节点i相连接节点的集合；Fi为节点i处的外力矢量；Ti,j为索单元i,j的张力；索单元i,j分别连接i和j节点；xi和xj为i和j节点的位置矢量；为索单元i,j的长度。

根据索网结构的拓扑关系，建立索网结构上所有节点的力平衡方程，形式如下：

式中：C为m×n阶的结构拓扑矩阵，m为索单元数，n为索节点数；为索单元张力和索长比值的对角阵，示对角矩阵；x为节点位置矢量；F为总的外力矢量阵。

为便于理解，将C的矩阵形式做进一步说明，如索段k分别连接在i和j节点上，则有：

实际上，丝网反射面是依据索网的网格形状进行裁剪并缝制到前索网上的，因此采用前索网的网格将薄膜划分为众多三角形单元[15]，图2为三角形单元示意图。设膜面各方向应力均为σ，即等应力分布状态，膜面厚度为t,3条边的边长为L1,L2和L3,3条边对应的内角为α1，α2和α3,3条边上的线拉力为T1,T2和T3。现以节点1为例，建立平衡方程为：

求解得：

根据正弦定理，式(5)可进一步简化为：

同理，三角形单元上的线拉力可写作：

取三角形斜边的力密度qi=Ti/li(i=1,2,3)，假设单元处于平衡状态，定义3个顶点处的外力矢量分别为F1,F2和F3，则有：

式(8)—式(10)可以进一步写作：

式(11)为三角形单元的力密度方程，将单元力密度矩阵装配成全局力密度矩阵，得到：

式中：G为全局力密度矩阵；Fm为外力矢量；xu∈x为前索网的节点位置矢量。

基于索网和薄膜的拓扑结构，将式(2)和式(12)合并，即可得到索膜结构的总体平衡方程：

对纯索膜结构进行形态分析，将索膜结构边界固定在刚性桁架上，预先设计好索网上各个节点的位置。以索段的张力为设计变量，建立索膜结构的优化模型。在索膜结构的优化过程中，需要保证以下原则：

1）为了防止索网内的索段出现松弛或者变形过大，约束索段张力的取值范围：

式中：[T]min和[T]max分别为索段允许的最小和最大张力值。

2）为了保证复杂热环境中索网形态的稳定，需要保证索网内索段张力的均匀性。假设前索网、后索网和竖向索的张力均值分别为Tk1,Tk2和Tk3，且前索网、后索网和竖向索的索段数分别为ncu,ncl和ncv，则：

综合上述条件，假设薄膜离散的三角形薄膜单元的膜内应力为σ，索网的1组张力矢量为T，建立如下优化模型：

基于此优化模型，即可对设定初始形状的索膜结构进行形态分析，获得最优的1组预张力。

本文以3 m口径可展开天线为例，进行优化计算。如图1所示，索网由415根索段和110个节点组成，其中竖向索段55根，前索网或后索网上的节点数和索段数分别为55和180。具体的设计参数如表1所示。

薄膜铺设在前网面上。薄膜材料的厚度为0.025 mm，弹性模量为2.1 GPa，泊松比为0.3。整个薄膜反射面由108个三角形单元组成。本算例先讨论薄膜三角形单元的应力初值对索网内部预张力分布的影响。基于式(17)进行索膜结构的形态优化分析，选取索力的上限为150 N，下限为1 N，膜内许用应力为10 MPa。上述优化模型属于有约束的最优化问题，可基于信赖域法、有效集法、内点法和序列二次规划等进行求解。

为方便讨论，取1/6索膜结构进行讨论，见图3。图中括号前数字为前索网索段编号，括号内数字为后索网索段编号，圆圈内数字为竖向索索段编号，薄膜三角形中心处带下划线的数字为膜单元的编号。

天线在轨时，反射面需要承受横向加速度，因此在对网面应力进行设置时，应确保反射面表面不会出现松弛和褶皱。在以往的研究中，网格张力通常为0.05～0.1 MPa[16]。由式(7)可知，三角形单元的应力大小对三角形斜边上索单元的张力影响较大。本例中分别取所有三角形单元的初始应力σ为0.01 MPa,0.1 MPa和1 MPa，则经过式(7)计算可知，在三角形单元28沿索段2的斜边上，面内应力转换的线拉力分别为0.027 N,0.27 N和2.7 N。考虑到算例中设定的最小索段张力值为1 N，由此可知三角形单元的应力初值的设定对型面分析的结果有着明显的影响。

现在就三角形单元的3种初始应力下型面分析的结果进行讨论。将3种不同情形下分析后获得的索段张力进行对比，如图4所示。

对比可知前索网索段的张力值约为5 N，当膜单元的σ=1 MPa时，转化后的线张力为2.7 N，与索段张力过于接近。从索段张力的角度进行分析，观察可知：竖向索段在3个分析模型中基本一致，未受太大影响；当膜单元的σ设为0.01 MPa和0.1 MPa时，索段张力比较接近且均匀性较好；而当σ设为1 MPa时，前索网多数索段的张力变得较小，后索网多数索段的张力增大，这也说明了薄膜反射面内部应力过大可能导致索段出现松弛现象。通过分析可知，为了保证索网（特别是前索网）内部索段张力的均匀性，应设计反射面内部应力的大小，使内部应力转化的线张力不要过大。从文中3种初始应力分析推测，σ宜取0.1 MPa。

最后，取膜单元σ=0.1 MPa时的优化结果，将薄膜转化的线张力作为前索网中相应索段的附加张力，结合获得的索网的预张力，在ANSYS中建立周边固定的索网结构的有限元模型，如图5所示。利用Link10单元来模拟索网中各个索段，施加预张力后进行求解。

在有限元模型中，将薄膜转化的线张力施加于索段之后，对索段的弹性模量进行相应的调整。当索段未被张紧时，膜内的应力恰好为零，而索膜结构平衡时，膜内的应力和索段的张力为获得的优化量。在索膜结构的变形过程中，平衡状态时满足最小势能原理，因此，可以认为变形过程中膜单元能够维持等应力的状态，索膜结构的变形满足线性弹性关系。可将膜单元近似看作由3个索单元构成的网格，假设所有相关膜单元转化到3条边上的线张力合力为Tz1,Tz2和Tz3，与膜单元连接的3个索网索段的张力为Tc1,Tc2和Tc3，索段的弹性模量为Ec。此时，索段的弹性模量应为考虑索段和薄膜之后的等效弹性模量，比如：()

类似的，将所有前索网索段弹性模量更新为等效弹性模量，即可考虑薄膜的影响，进行索网结构的变形分析。

对静力学分析结果进行分析，索网结构的位移云图和轴向应力云图分别如图6和图7所示。由位移云图可见，整个索网结构内部的位移对称一致，最大值为0.187 mm，变形量在合理的范围之内。由轴向应力云图可见，轴向应力的取值范围为1.29～21.5 MPa，折算为索段的轴向张力后为1.023～17.057 N，索段张力分布均匀，因此本文索膜结构的型面优化分析方法可行，求解结果可信。

本文建立了索膜结构的形态分析方法，并通过算例分析，验证了该方法的正确性。以往的研究常常忽略薄膜结构内力的影响，对单一的索网结构进行形态分析。但由本文的分析结果可知，膜单元应力初值的选择关系到索结构的张力分布，若膜单元初始应力过大，则索段的张力均匀性就会受到影响。因此，在天线的形态设计阶段，应当合理配置反射面面内应力和索段预紧力，以获得高精度的索膜结构。

此外，本文的方法可以灵活扩展，如可由薄膜的面内应力分布和薄膜单元的形状建立坐标转换关系，得到面内应力和等效线拉力的转换关系，从而建立关于非等应力状态薄膜的索膜形态分析方法。